Многоугольники. Понятие площади 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Многоугольник
Мы уже говорили о возможных вариантах взаимного расположения трех прямых на плоскости: все три параллельны, все три пересекаются в одной точке, две параллельные, а третья их пересекает. Но все это предельные случаи, которые мы либо уже рассмотрели, либо будем их изучать в дальнейшем.
Но если бросить на стол три спички и продлить каждую из них до прямой, то получится три попарно пересекающиеся прямые (см. рис. 1). Можно сказать, что вероятность этого события равна или что все оставшиеся варианты расположения трех прямых на плоскости столь же вероятны, как и выпадение монеты на ребро.
Рис. 1. Три попарно пересекающиеся прямые
Попарное пересечение трех прямых образует фигуру, которую мы и будем сейчас изучать – треугольник (см. рис. 2).
Рис. 2. Попарное пересечение трех прямых образует треугольник
Самая простая «конечная» фигура – отрезок. Что можно нарисовать из отрезков? Если рисовать отрезки так, чтобы конец одного был началом другого, то получится фигура, которая называется ломаной (см. рис. 3) (в каждой узловой точке как бы ломается), а отрезки, из которых она состоит, называются звеньями.
Рис. 3. Пример ломаной
Сами по себе ломаные – полезные фигуры, поскольку они позволяют приближать различные кривые, а значит, помогают вычислять их длину (см. рис. 4).
Рис. 4. Приближение кривой ломаной
Но особый интерес представляют собой замкнутые ломаные – т. е. те, которые являются границами какой-то области на плоскости (см. рис. 5).
Рис. 5. Замкнутая ломаная
Замкнутую ломаную без самопересечений называют многоугольником (фигура, у которой много углов) (см. рис. 6).
Рис. 6. Пример многоугольника
Из двух отрезков замкнутую ломаную не нарисуешь, значит, наименьшая возможная замкнутая ломаная состоит из звеньев. Или, по-другому, наименьший из возможных многоугольников – треугольник (см.
рис. 7).
Рис. 7. Треугольник – наименьший из возможных многоугольников
Почему многоугольникам и, в частности, треугольникам уделяют так много внимания в геометрии? Любую сложную фигуру можно приблизить как угодно точно многоугольниками. Поэтому, изучая свойства многоугольников, мы можем работать с фигурами любой формы.
Но любой многоугольник можно разбить на треугольники. Это облегчает изучение многих свойств различных многоугольников и сводит их к изучению свойств одной фигуры – треугольника.
Периметр как характеристика для сравнения многоугольников
Начнем с вопроса сравнения многоугольников. Какие есть характеристики, которые можно сравнить? Есть периметр – длина границы многоугольника. Но длина границы мало что нам говорит о размере многоугольника. Вот два многоугольника (см. рис. 8) – один целиком лежит внутри другого, является его частью, т. е. меньше. Но длина границы (периметр) у внутреннего многоугольника больше.
Рис.
8. Периметр внутреннего многоугольника больше периметра внешнего
Кроме того, одной и той же веревкой (т. е., имея периметр) можно ограничить разное пространство (см. рис. 9).
Рис. 9. Веревкой можно отделить различные фигуры
Задача Дидоны
Город Карфаген, по легенде, был основан сестрой финикийского царя, которую звали Дидона. Она переселилась на южный берег Средиземного моря и попросила у местных жителей столько земли около берега, сколько можно охватить шкурой быка. Жители согласились и принесли Дидоне шкуру.
Дидона оказалась хитрее их. Она разрезала шкуру на очень тонкие ремни и связала их в длинный канат. Этим канатом она охватила большую прибрежную территорию, достаточную для постройки города.
Само собой возникает вопрос, как именно нужно положить канат, чтобы он охватил самую большую возможную территорию. Среди всех вариантов расположения концов каната на берегу и разного расположения самого каната самым лучшим оказывается полукруг (см.
рис. 10). Какую форму использовала Дидона, легенда умалчивает.
Рис. 10. Полукруг – лучший вариант расположения каната для охвата самой большой возможной территории
В математике эта задача так и называется – задача Дидоны – и имеет более формальную постановку: найти область максимальной площади, ограниченную прямой линией и кривой, концы которой лежат на этой прямой (при этом длина кривой фиксирована).
Подобные задачи в математике называются изопериметрическими («изо» – «постоянный»). На плоскости изопериметрическая задача очень похожа на задачу Дидоны: какую форму должна иметь кривая, чтобы при заданной длине ограничивать максимальную площадь (см. рис. 11)? Решением является окружность (хотя доказать это и не так просто).
Рис. 11. Иллюстрация к изопериметрической задаче
Чуть позже на уроках физики вы узнаете о решении изопериметрической задачи в пространстве: почему капля воды имеет форму шара (оказывается, это связано с тем, что шар имеет наименьшую площадь поверхности при заданном объеме).
Сравнение многоугольников
Итак, мы убедились, что периметр не подходит в качестве основной характеристики размера многоугольника. Если многоугольники имеют одинаковую форму, то проблемы, чтобы сравнивать их, нет – просто накладываем один многоугольник на другой. Если они совмещаются, то, по определению равных фигур, эти многоугольники равны (см. рис. 13).
Рис. 13. Равные многоугольники
Если один помещается полностью внутрь другого, то тот многоугольник, который внутри, меньше, а второй – больше (см. рис. 14).
Рис. 14. Многоугольник слева меньше многоугольника справа
Этот метод мы уже применяли для сравнения отрезков. Но там было проще – все отрезки имеют одинаковую форму. Многоугольники, конечно, могут иметь разную форму (см. рис. 15). Как их сравнивать в этом случае?
Рис. 15. Примеры различных форм многоугольников
Рассмотрим два треугольника (см. рис. 16). Одинаковую ли часть плоскости они ограничивают или разную? Кажется, что разную.
Но уже на следующем уроке, когда займемся вплотную треугольниками, мы докажем, что одинаковую.
Рис. 16. Рассматриваемые треугольники
А так ли важна задача сравнения? Да, важна. Если мы знаем, что банки краски хватает на квадрат х метра, то хватит ли его на треугольник шириной метр, но высотой ?
Понятно, что рулона линолеума шириной метра и длиной метров хватит на прямоугольную комнату с такими же размерами. А хватит ли его на комнату х метра?
Вывод: необходима новая мера, мера внутренности, мера величины куска плоскости, которую ограничивает многоугольник. Такая мера называется площадью.
Как измерить площадь
Как измерить площадь? Веревкой не измеришь, метр тоже не подходит. Мы знаем, что измерение – это сравнение со стандартом (единицей измерения). Значит, нужен новый стандарт, новая единица измерения.
Нужна фигура, площадь которой мы будем считать эталоном. Договорились взять квадрат со стороной м.
И площадь такого квадрата будем называть (см. рис. 17).
Рис. 17. Квадрат со стороной м и площадью
Или наоборот, – это площадь квадрата со стороной м. Аналогично получаются (квадраты со сторонами км, см, мм соответственно). Сами такие квадраты называют единичными. Это очень похоже на длину и единичные отрезки.
Единицы измерения площади
Для длины мы использовали единицу измерения метр (и ее производные: сантиметр, километр и т. д.). Почему мы не смогли ее использовать для измерения площади? Потому что нельзя сказать, сколько, например, в квадрате содержится отрезков (точнее, можно сказать: бесконечно много, но тогда площади всех квадратов будут одинаковы, что противоречит здравому смыслу).
А вот сказать, сколько в большом квадрате маленьких, можно. Поэтому в качестве эталона выбирается единичный квадрат со стороной . Площадь квадрата со стороной м:
Справедливость утверждения: площадь квадрата со стороной м равна квадратных метра – следует из того, что в него помещается ровно квадрата со стороной м (см.
рис. 18).
Рис 18. В квадрат с площадью помещается ровно квадрата со стороной м
Т. е., говоря другими словами, его площадь:
Если расписать подробнее, то это выглядит так:
Такой способ записи может помочь при переводе одних единиц измерения площади в другие. Предположим, что нам нужно перевести квадратных метров в квадратные сантиметры:
Конечно, каждый раз так подробно расписывать необязательно, зато ошибиться при таком способе перевода гораздо сложнее.
Площадь фигуры
Площадью произвольной фигуры называют количество единичных квадратов, с помощью которых можно замостить эту фигуру (см. рис. 19). Например, если в прямоугольник помещается единичных квадратов, то говорим, что площадь прямоугольника – .
Рис. 19. Единичный квадрат и фигура, площадь которой равна
Если у нас не получается замостить фигуру целым количеством единичных квадратов, то поступаем так же, как с отрезками: делим каждую из сторон квадрата на , получаем маленьких квадратиков.
Площадь каждого из них равна . Если наш многоугольник удалось замостить единичными (большими) квадратами и -ю маленькими, площадь многоугольника равна кв. ед.
Если снова целого количества не получилось, то продолжаем процедуру. Опять уменьшаем сторону квадрата в раз. Если этот процесс не закончится, то площадь будет записана бесконечной дробью. Если закончится, то конечной.
Но абсолютно точно ничего измерить нельзя. Ведь все равно нет абсолютно точных измерительных инструментов. Главное, что мы всегда можем выразить площадь конечной десятичной дробью с необходимой точностью.
Почему в качестве эталона выбрали именно квадрат? Его удобно использовать для того, чтобы замостить фигуры (попробуйте это сделать, например, с помощью окружности). Но, с другой стороны, можно было бы использовать прямоугольные треугольники или прямоугольники. Так что это можно считать просто договоренностью.
Обозначать площадь принято буквой.
Кажется, всем понятно, что такое площадь.
Но в математике нужно изучать введенные свойства и характеристики, нужна механика. Для этого нужно ввести аксиомы, т. е. дать полное определение.
Аксиомы площади:
площадью фигуры называется такая положительная величина, которая обладает следующими свойствами:- площади равных фигур равны;
- площадь фигуры, разбитой на несколько непересекающихся фигур, равна сумме площадей ее частей;
- площадь единичного квадрата (квадрата со стороной ) равна .
Площадь прямоугольника
Необязательно каждый раз мостить фигуру единичными квадратами, чтобы найти ее площадь. Рассмотрим прямоугольник со сторонами и (см. рис. 20).
Рис. 20. Прямоугольник со сторонами и
Сколько единичных квадратов можно в него поместить? Если и – целые числа, то все совсем просто. Например, прямоугольник шириной и высотой (см. рис. 21).
Рис. 21. Прямоугольник со сторонами и
В один ряд можно уложить единичных квадрата, всего таких рядов можно сделать .
Итак, всего квадратов. Если ширина равна , а высота равна , то всего укладывается единичных квадратов:
Пусть и – дробные числа. Например, ширина равна , а высота равна (см. рис. 22).
Рис. 22. Прямоугольник со сторонами и
Тогда помещается целых ряда по квадрата и еще ряд из половинок:
Это верно и для любых других значений и . Таким образом, для любого прямоугольника со сторонами и площадь вычисляется по формуле:
Площадь прямоугольного треугольника
Для треугольника мы тоже можем найти формулу для вычисления площади. Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник (треугольник, у которого есть прямой угол) (см. рис. 23).
Рис. 23. Прямоугольный треугольник
Пусть две стороны, прилежащие к этому углу (их называют катетами), имеют длины и . Понятно, что треугольник можно достроить до прямоугольника со сторонами и . Площадь этого прямоугольника, как уже известно, равна .
Но треугольник – это его половина. Значит, площадь прямоугольного треугольника со сторонами и :
Площадь произвольного треугольника
Возьмем произвольный треугольник (см. рис. 24).
Рис. 24. Произвольный треугольник
Пусть длина основания равна . Опустим перпендикуляр из вершины на основание (этот перпендикуляр называется высотой). И пусть длина высоты равна . Мы разбили произвольный треугольник на два прямоугольных. Площадь каждого мы уже умеем находить. Основание разбилось на два отрезка: (см. рис. 25).
Рис. 25. Произвольный треугольник разбит высотой на два прямоугольных
Площади первого и второго треугольников, соответственно, равны:
Площадь большого треугольника равна сумме его частей (вот пример, где пригодилась одна из аксиом из определения площади – аксиома 2):
Мы не рассмотрели случай, когда перпендикуляр к основанию пересекается с основанием вне треугольника (см.
рис. 26).
Рис. 26. Перпендикуляр пересекает основание вне треугольника
Вы вполне можете это сделать самостоятельно. Рассуждения очень похожи. Но вывод можно обобщить: площадь любого треугольника равна половине произведения высоты на основание , к которому она проведена:
Площадь круга
Легко понять, что окружность не удастся выложить точно единичными квадратами или их частями. Но это и не нужно. Площадь окружности можно получить приближенно с любой точностью. Рассмотрим окружность радиуса (см. рис. 27).
Рис. 27. Окружность с радиусом
Опишем один квадрат вокруг нее и один впишем внутрь (см. рис. 28).
Рис. 28. Описанная около квадрата и вписанная в квадрат окружности
Площадь большого квадрата – , а меньшего – (он состоит из прямоугольных треугольников с катетами ).
Значит, площадь круга находится где-то между этими значениями:
Например, .
Заключение
Итак, площадь – это мера внутренности любой фигуры. У равных фигур равная площадь.
Обратное неверно. Фигуры могут иметь равную площадь, но быть совсем разными, не равными друг другу.
Для фигур с равной площадью часто используют отдельный термин – равновеликие.
Например, квадрат со стороной и прямоугольник со сторонами и имеют одинаковые площади . Это равновеликие, но не равные друг другу фигуры.
Мы будем изучать разные фигуры – многоугольники и не только. И будем получать для них формулы площади. Для тех же фигур, для которых точную формулу получить сложно, всегда можно использовать приближение различными многоугольниками.
Список литературы
- Александров А.
Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017. - Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.
Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал math5school.ru (Источник)
3. Интернет-портал math-prosto.ru (Источник)
Домашнее задание
- Площадь квадрата равна . Найти его сторону и выразить площадь в квадратных миллиметрах.
- Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна , а периметр равен м.
- Найти основание произвольного треугольника в сантиметрах, если его площадь равна , а высота, проведенная к основанию, равна мм.
Как найти периметр фигур, его обозначение, измерение
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
199.8K
Обычно мы справляемся с разными жизненными ситуациями теми способами, к которым мы привыкли. На самом деле, подходящих вариантов может быть больше, как и формул в математике для решения одной задачи. В этой статье рассмотрим, как вычислить периметр фигуры разными способами.
Определение периметра
Периметр
— это сумма длин всех сторон многоугольника.Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.
В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.
Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.
Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Формулы нахождения периметра
Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.
Равносторонний многоугольник
У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.
P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.
Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.
А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.
Прямоугольник и параллелограмм
У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.
P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.
Окружность
У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник.
Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.
L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π
Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!
Решение задач
Площадь прямоугольника равна 80 см2, длина составляет 10 см. Чему равен периметр фигуры?
Как решаем:
- Для использования формулы P = 2 × (a + b), нам нужно найти ширину;
- Так как S = a × b, для поиска одной стороны необходимо разделить площадь на известную сторону: 80 : 10 = 8 см;
- Далее подставляем известные данные в формулу: (10 + 8) × 2 = 36 см;
Ответ: 36 см.
Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны?
Как решаем:
- Мы знаем, что периметр — это сумма длин всех сторон, а значит, если вычесть из данного периметра сторону основания — получим сумму двух оставшихся сторон: 40 − 6 = 34 см;
- Известно, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны;
- Далее делим получившуюся сумму на два: 34 : 2 = 17 см;
Ответ: две другие стороны равны по 17 см.
Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.
Как решаем:
- Периметр равностороннего пятиугольника равен 4 × 5 = 20 см, значит, радиус окружности равен 20 см;
- Длина окружности равна π × 2 × 20 = 40π см;
Ответ: 40π см.
Еще больше практических заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Шпаргалки по математике родителей
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
858.2K
Как найти площадь треугольника
К следующей статье
210.6K
Как найти периметр прямоугольника
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Томас из Колет Корт изучил восемь фигур, нарисованных на карточках.
2 $. Томас заметил:
Периметр всегда больше, кроме одного (форма G).
Нур из начальной школы Кингсбери-Грин ответила на вопрос; «Можете ли вы нарисовать фигуру, площадь которой численно равна ее периметру? И другой?’. Он сказал:
Я обнаружил, что если я сделаю $4\times4$, то получу площадь в $16$.
Если бы я посчитал стороны, то с каждой стороны было бы по четыре: $4+4+4+4 = 16$.
Площадь и периметр совпадают.
То же самое произойдет, если у вас есть прямоугольник длиной $6$ и шириной $3$. 92$, а периметр равен 8$см.
Башайер из Kingsbury Green Primary также нашел это решение. Миити из Kingsbury Green создал эту фигуру с периметром в 20$ единиц и площадью в 10$ квадратных единиц:
Томас из Colet Court начертил фигуру, площадь которой в числовом выражении в два раза больше периметра:
Томас продолжал исследовать, как заставить площадь фигуры увеличиваться, а периметр уменьшаться.
2$, периметр $20$см.
Мы убрали кусок $1$ из верхней части квадрата, периметр увеличился, а площадь уменьшилась. Периметр стал больше, потому что он добавляет на 2$ больше строк, так что периметр стал 22$см.
Во время исследования проблемы 7280 Анна из начальной школы Холма воздушных шаров сделала следующие наблюдения, которыми она хотела бы поделиться с вами. См. вложение, взятое из ее тетради. Учитель 5-го класса
Вы все молодцы. Вы явно много думали над этой проблемой.
Изучение геометрии: площадь и периметр
Площадь, периметр и окружность вызывают у учащихся больше путаницы, чем необходимо.
Проблема в том, что мы погружаемся в формулы до того, как студенты сориентируются . Пусть ваши ученики запачкают руки геометрией. Они должны поиграть с формами и понять, почему эти волшебные формулы работают.
Начинающие сумматоры и вычитатели работают с манипулятивными, прежде чем углубятся в абстрактную арифметику.
Старшие школьники еще новички в геометрии. Дайте им возможность прикоснуться к математике и повеселиться.
Отношение области к периметру
Давайте начнем этот урок, создав некоторый конфликт вокруг распространенного заблуждения.
Студенты, мой квадрат имеет периметр четыре метра. Я удвою это. Удвоится ли и моя площадь?
Нет! Удвоение периметра не удваивает площадь . Но держу пари, ваши ученики так думают.
Представьте это как индуктивное исследование. Настройте шаблон, начав с периметра в четыре квадратных фута.
| Длина стороны | Периметр | Зона |
|---|---|---|
| 1 м | 4 м | 1 м2 |
| 2 м | 8 м | 4 кв.м |
| 3 м | 12 м | 9 кв.м |
| 4 м | 16 м | 16 кв.м |
| 5 м | 20 м | 25 кв.м |
Остановитесь здесь, потому что возникло несколько интересных паттернов.
Спросите о наблюдениях. Вот пара:
- На расстоянии 4 м с каждой стороны периметр и площадь пересекаются.
- Площадь увеличивается намного быстрее, чем длина периметра (вы можете изобразить это графически и обсудить линейный и экспоненциальный рост).
- Стороны увеличиваются на единицу, периметры увеличиваются на четыре, а площадь увеличивается на три, пять, семь, затем девять! Интересно, продолжается ли это…
Покажите, насколько драматично увеличение с большими числами:
| Длина стороны | Периметр | Зона |
|---|---|---|
| 10 м | 40 м | 100 кв.м |
| 50 м | 200 м | 2500 кв.м |
| 250 м | 1000 м | 62500 кв.м |
Квадраты против прямоугольников
Продолжайте расширять свои представления об отношении между площадью и периметром. Спросите: «Всегда ли периметр 20 м приводит к площади 25 кв м?»
Неуверенные кивки
Вместо квадратов построим несколько прямоугольников и окружим их 20-метровым забором.
Спросите все комбинации, которые дают 20 м:
|Длина | Ширина | Периметр | Район
|——–|–|–|
| 1 м | 9 м | 20 м | 9 кв м |
| 2 м | 8 м | 20 м | 16 кв м |
| 3 м | 7 м | 20 м | 21 кв м |
| 4 м | 6 м | 20 м | 24 кв м |
| 5 м | 5 м | 20 м | 25 кв м |
Посмотрите, какая заметная разница в площади! Квадрат почти равен три раза по 9.0077 эффективнее тонкого прямоугольника.
Что делать, если вы включили десятичные дроби? Насколько низко может опуститься область? Прямоугольник размером 0,1 м на 9,9 м имеет поразительно маленькую площадь.
Но всегда ли так?
Попробуйте с другими периметрами. Подведите учащихся к обобщению: квадрат использует периметр более эффективно, чем любой другой прямоугольник.
И круг катится по
Итак, квадрат может быть самым эффективным прямоугольником, но является ли он самым эффективным из 9?0076 все формы?
Сверните круг и устройте соревнование.
Будет ли круг с окружностью 20 м больше, чем площадь квадрата 25 кв м?
Если ваши ученики хорошо разбираются в алгебре, они могут найти радиус круга, начав с длины окружности.
Найдите радиус окружности:
- c = πd (формула длины окружности)
- 20 = πd (данная длина окружности)
- 20 / π = d (разделить обе части на π
- ~ 6,37 = d (приблизительный радиус)
Уменьшите этот диаметр вдвое, чтобы получить радиус ~ 3,185 м.
Используя радиус, найдите площадь круга:
- A = πr² (формула площади круга)
- A = π * 10,144 (возвести в квадрат радиус, который мы нашли)
- A = ~ 31,85 (приблизительная площадь круга)
Таким образом, квадрат был королем четырехугольников с 25 кв. м, однако круг ловко побеждает его с площадью почти 32 кв. м .
Но… Почему?
Теперь, если в вашем классе есть куча одаренных умов, кто-то задаст извечный вопрос: почему?
Почему круг такой эффективный?
Краткий ответ: при том же периметре обычная фигура с дополнительными сторонами займет большую площадь.
Только не говори им! Покажите это с помощью этого калькулятора. Медленно (и драматично!) постройте такую таблицу:
| # Стороны | Длина стороны | Зона |
|---|---|---|
| 4 | 5 м | 25 кв.м |
| 5 | 4 м | ~ 27,52 кв.м |
| 6 | 3,33 м | ~ 28,86 кв.м |
| 8 | 2,5 м | ~ 30,177 кв.м |
| 10 | 2 м | ~ 30,77 кв.м |
Бьюсь об заклад, они будут разочарованы, когда вы остановитесь на десятиугольнике. Не стесняйтесь идти дальше или дайте это как дополнительное домашнее задание.
Таким образом, шестиугольник побеждает квадрат, восьмиугольник побеждает шестиугольник и так далее.
Угадайте, у какой фигуры больше сторон? Правильно, круг с бесконечными сторонами всегда будет побеждать.
Наконец-то
Пока вы обсуждаете многоугольники, покажите своим ученикам этот видеоролик: Нонагон .