Интегралы в каком классе проходят: В каком классе проходят интегралы?

Содержание

как понять и решать неопределенные и определенные интегралы, правила и примеры

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры.

Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Линейность:

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Вычисление первообразной функции — что это такое?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Какие ассоциации вызывает у вас понятие «первообразная»? Пожалуй, таким званием можно наградить супергероиню из популярного сериала: эта характеристика внушает трепет и уважение. Только представьте: «Первообразная, Королева дифференциалов из Дома Интегрированных, Властительница Констант и Производных». 👑

Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.

Дифференцирование и интегрирование

Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:

сложение обратно вычитанию,
умножение — делению,
возведение в степень — извлечению арифметического корня.

С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.

Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.

Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.

Нахождение производной от функции обозначается знаком ′. Так, если исходная функция — y, то её производная будет обозначаться y′.

Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.

Функция f (x)	Производная f’ (х)
С (т. е. константа, любое число)	0
х	1
xⁿ	nx^n-1
√x	1/(2√x)
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos²(х)
ctg x	-1/sin²x
e^x	e^x
a^x	a^x * ln a
ln x	1/x
log_ax	1/(x * ln a)

Правила дифференцирования

(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′

(u + v)′ = u′ + v′

(u – v)′ = u′ – v′

(u ⋅ v)′ = u′v + v′u

(u/v)’ = (u’v – v’u)/v²

u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).

У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.

Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Дифференциал

Разберём буквы dx по отдельности:

d — это дифференциал,
х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.

Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.

Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?

Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:

Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.

Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:

дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;
его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!

Что такое первообразная?

Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.

Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).

Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.

Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.

Константа

Зачем добавлять константу к первообразной?

Представьте, что нам необходимо найти производную функций:

−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.

Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:

(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
(−cos(x) − 6)’ = sin (x).

Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.

Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.

Правила нахождения первообразной

Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.

Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.

Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.

Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.

Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!

«Высокий» логарифм:
«Длинный» логарифм:

Свойства неопределённого интеграла

Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.

Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:

Примеры решения заданий

Задание 1

Найди первообразную функции

Записываем неопределённый интеграл:
Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:
Выносим константы за знак интеграла:
Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:

Задание 2

Вычисли неопределенный интеграл

Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:
Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:

Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры. Иногда задания похожи на головоломку: необходимо выбрать верный способ решения, учесть все нюансы, выполнить верные вычисления. Научиться выполнять такие задания можно на уроках онлайн-курса математики в школе Skysmart: там вы не только подготовитесь к экзаменам, но и научитесь находить нестандартные решения, мыслить логически и строить самые неопровержимые доказательства.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Дарья Вишнякова

К предыдущей статье

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

К следующей статье

Как подготовиться к ЕГЭ по математике

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

Исчисление II – Интегральный тест

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 10.6: Интегральный тест

Последней темой, которую мы обсуждали в предыдущем разделе, был гармонический ряд. В этом обсуждении мы заявили, что гармонический ряд является расходящимся рядом. Настало время доказать это утверждение. Это доказательство также поможет нам начать следующий тест на сходимость, который мы рассмотрим. 9{{\,\infty}}{{\frac{1}{x}\,dx}} = \infty\]

, поэтому мы назвали этот интеграл расходящимся (да, это тот же самый термин, который мы используем здесь с рядом….).

Итак, как это поможет нам доказать, что гармонический ряд расходится? Напомним, что мы всегда можем оценить площадь, разбив интервал на сегменты, а затем начертив прямоугольники и используя сумму площадей всех прямоугольников в качестве оценки фактической площади. \ infty {\ frac {1} {n}} \ end {align *} \] 9\ infty {\ гидроразрыва {1} {n}} = \ infty \]

Поскольку мы не можем быть больше бесконечности, гармонический ряд также должен быть бесконечным по значению. Другими словами, гармонический ряд на самом деле расходится.

Итак, нам удалось связать ряд с несобственным интегралом, который мы смогли вычислить, и оказалось, что несобственный интеграл и ряд имеют одинаковую сходимость.

Посмотрим, будет ли это верно и для сходящегося ряда. Обсуждая тест дивергенции, мы утверждали, что 92}}}\,dx}} = 1\]

, значит, этот интеграл сходится.

Попробуем еще раз оценить площадь под этой кривой. Мы сделаем это почти так же, как и в предыдущей части, за исключением того, что вместо использования левых конечных точек для высоты наших прямоугольников мы будем использовать правые конечные точки. Вот эскиз этого случая,

В этом случае оценка площади

\[\ begin{align*} A & \ приблизительно \ влево ( {\ гидроразрыва {1} {{{2 ^ 2}}}} \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо) + \ влево ( {\ гидроразрыва {1 }{{{3^2}}}} \right)\left( 1 \right) + \left( {\frac{1}{{{4^2}}}} \right)\left( 1 \right ) + \left( {\frac{1}{{{5^2}}}} \right)\left( 1 \right) + \cdots \\ & = \frac{1}{{{2^2} }} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \cdots \конец{выравнивание*}\] 92}}}} < 2\]

В случае гармонического ряда этого было достаточно, чтобы сказать, что ряд расходится. Однако в этой серии этого недостаточно. Например, \( – \infty < 2\), и если бы ряд действительно имел значение \( - \infty \), то он был бы расходящимся (когда мы хотим сходящегося). Итак, давайте еще немного поработаем.

Во-первых, заметим, что все члены ряда положительны (это важно) и что частичные суммы равны

92}}}} < 2\hspace{0,5 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,{s_n} < 2\]

, поэтому последовательность частичных сумм является ограниченной последовательностью.

Во втором разделе, посвященном последовательностям, мы привели теорему, утверждающую, что ограниченная и монотонная последовательность гарантированно сходится. Это означает, что последовательность частичных сумм является сходящейся последовательностью. Итак, кого это волнует? Напомним, что это означает, что тогда ряд также должен быть сходящимся!

Итак, мы снова смогли связать ряд с несобственным интегралом (который мы могли вычислить), и ряд и интеграл имели одинаковую сходимость. \infty {{a_n}} \). 9\infty {{a_n}} \).

Формальное подтверждение этого теста можно найти в конце этого раздела.

Есть несколько замечаний по интегральному тесту. Во-первых, нижняя граница несобственного интеграла должна быть той же величиной, с которой начинается ряд.

Во-вторых, на самом деле функция не обязательно должна быть убывающей и положительной на всем интервале. Все, что действительно требуется, это чтобы в конечном итоге функция была убывающей и положительной. Другими словами, нормально, если функция (и, следовательно, члены ряда) какое-то время возрастают или отрицательны, но в конечном итоге функция (члены ряда) должна уменьшаться и быть положительной для всех членов. Чтобы понять, почему это так, давайте предположим, что члены ряда возрастают или отрицательны в диапазоне \(k \le n \le N\), а затем уменьшаются и положительны при \(n \ge N + 1\). В этом случае ряд можно записать как 9\infty {{a_n}} \]

Первый ряд представляет собой не что иное, как конечную сумму (независимо от того, насколько велико \(N\)) конечных членов, и поэтому он будет конечным. Таким образом, исходный ряд будет сходящимся/расходящимся только в том случае, если второй бесконечный ряд справа сходится/расходящийся, и проверку можно провести на второй серии, поскольку она удовлетворяет условиям проверки.

Аналогичный аргумент можно сделать и с использованием несобственного интеграла.

Требование в тесте, чтобы функция/ряд были убывающими и положительными во всем диапазоне, требуется для доказательства. Однако на практике нам нужно только убедиться, что функция/ряд в конечном итоге является убывающей и положительной функцией/рядом. Также обратите внимание, что при вычислении интеграла в тесте нам на самом деле не нужно отбрасывать возрастающую/отрицательную часть, поскольку наличие небольшого диапазона, в котором функция возрастает/отрицательна, не изменит интеграл с сходящегося на расходящийся или с расходящиеся к сходящимся. 92}}}} < 2\]

Итак, мы получили верхнюю границу значения ряда, но не фактическое значение ряда. Фактически, с этого момента мы не будем спрашивать значение ряда, мы будем только спрашивать, сходится ряд или расходится. t \\ & = \ mathop {\ lim} \ limit_ {t \ to \ infty} \ left ( {\ln \left( {\ln t} \right) – \ln \left({\ln 2} \right)} \right)\\ & = \infty \end{align*}\] 92}} \справа)\]

Эта функция имеет две критические точки (которые говорят нам, где производная меняет знак) в точках \(x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\). Поскольку мы начинаем с \(n = 0\), мы можем игнорировать отрицательную критическую точку. Взяв пару контрольных точек, мы видим, что функция возрастает на отрезке \(\left[ {0,\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\) и убывает на \( \ влево [ {\ гидроразрыва {1} {{\ sqrt 2}}, \ infty} \ справа) \). Следовательно, в конечном итоге функция будет убывающей, и это все, что нам нужно для использования интегрального теста. 9\infty {\frac{1}{{\sqrt n }}} \) Показать решение

Для этого ряда \(p = \frac{1}{2} \le 1\) и поэтому ряд расходится по факту.

Последнее, что мы сделаем в этом разделе, — быстро проверим интегральный тест. \infty {{a_n}} \). Исходное тестовое утверждение было для серии, которая начиналась с общего \(n = k\), и, хотя для этого можно провести доказательство, будет проще, если мы предположим, что серия начинается с \(n = 1\).

Другой способ работы с \(n = k\) состоит в том, что мы можем сделать сдвиг индекса и начать ряд с \(n = 1\), а затем выполнить интегральный тест. В любом случае проверки теста для \(n = 1\) будет достаточно.

Также обратите внимание, что, хотя мы допустили, что первые несколько членов ряда возрастают и/или отрицательны в рабочих задачах, это доказательство требует, чтобы все члены были убывающими и положительными.

Давайте начнем и оценим площадь под кривой на интервале \(\left[ {1,n} \right]\) и занижаем площадь, взяв прямоугольники ширины один и высота которых является правой конечной точкой . Это дает следующий рисунок.

Теперь обратите внимание, что

\[f\left( 2 \right) = {a_2}\hspace{0.5in}f\left( 3 \right) = {a_3}\hspace{0. 5in} \cdots \ hspace{0.5in}f\left( n \right) = {a_n}\]

Тогда приблизительная площадь равна

\[A \приблизительно \влево( 1 \вправо)f\влево( 2 \вправо) + \влево( 1 \вправо)f\влево( 3 \вправо) + \cdots + \left( 1 \right)f\left( n \right) = {a_2} + {a_3} + \cdots {a_n}\]

, и мы знаем, что это занижает фактическую площадь, поэтому 9\infty {{a_n}} \) сходится.

Итак, первая часть теста подтверждена. Вторая часть несколько проще. На этот раз давайте переоценим площадь под кривой, используя левые конечные точки интервала для высоты прямоугольников, как показано ниже.

В этом случае площадь приблизительно равна

\[A \приблизительно \влево( 1 \вправо)f\влево( 1 \вправо) + \влево( 1 \вправо)f\влево( 2 \вправо) + \ cdots + \left( 1 \right)f\left( {n – 1} \right) = {a_1} + {a_2} + \cdots {a_{n – 1}}\] 9\infty {{a_n}} \) — расходящийся ряд.

Прежде чем покинуть этот раздел, важно отметить, что для использования интегрального теста члены ряда ДОЛЖНЫ в конечном итоге быть убывающими и положительными. Если их нет, то тест не работает. Также помните, что тест определяет только сходимость ряда и НЕ дает значение ряда.

Детали интеграционного шлюза

вверх на домашнюю страницу Сары-Мари Белкастро

Что нового в интеграционном шлюзе?

Проверяет навыки интеграции. Преимущество наличия шлюза в том, что есть нет простых проблем с интеграцией на экзаменах и не требуется жесткой интеграции вручную на экзаменах… вы доказали свои навыки на шлюзе. С другой стороны, шлюз довольно трудно пройти. Основная причина предоставления шлюза заключается в том, чтобы учащиеся, закончившие курс математического анализа, могли решать интегралы. точно и эффективно.

У вас есть 20 минут, чтобы пройти через шлюз.
В нем 7 вопросов.
Вы должны дать идеальные ответы на 6 из 7 задач.
“Идеально” означает отсутствие неправильных знаков, отсутствие пропущенных +C (и никаких дополнительных +C), все круглые скобки присутствуют, учитываются и совпадают. .. вы поняли суть.
На шлюзе нельзя пользоваться калькуляторами, заметками, книгами и т.п.
Штраф за непрохождение шлюза к концу занятий – одна буквенная оценка для курса.
Вы можете взять только один шлюз в день.
Количество проходов шлюза не ограничено (кроме количество доступных дней, в которые можно его взять).

Шлюзы генерируются случайным образом, поэтому довольно редко встречается «жесткий шлюз” или “легкий шлюз”. Почти всем приходится усердно учиться и делать много практических задач для прохождения шлюза. Мы возьмем шлюз один раз, вместе, во время урока.

Вот пример шлюза (.pdf).
Проблемы передовой практики можно найти в разделах, посвященных интеграции путем замещения. и интегрирование по частям.
Проблемы с лучшими практиками можно найти в конце этой главы.
Больше практических задач можно найти практически в любом другом тексте по математическому анализу.

Вот вам стимул скорее пройти шлюз раньше, чем позже… Вы получите

15 баллов при прохождении шлюза с первой или второй попытки
12 баллов, если вы сдадите в течение 2 недель после первого шлюзового экзамена
6 баллов, если вы сдадите в течение последней возможной недели
(и 9 баллов, если вы пройдете после отметки «12» и до отметки «6»)

Вот несколько советов о том, как пройти через ворота, немного измененные по сравнению с советами Боба Меггинсона. страница по теме (а он Мастер Врат!):

Каждый раз, когда вам возвращают оцененную копию теста, изучайте ошибки, которые вы сделали и исправьте любое недоразумение, которое у вас есть. Помните, что с тех пор нет частичного зачета, нет “неаккуратных” ошибок или “маленьких «глупые» ошибки или «просто поспешные» ошибки в этом тесте; есть только ошибки. Подумайте, почему вы сделали каждую ошибку и как вы можете избежать это при следующей попытке.

Поставьте перед собой цель сдать тест в течение двух недель после первого шлюзового экзамена. Хотя тест предлагается после этого, обычно предполагается, что учащиеся те, кто не сдает его на второй неделе после первого предложения теста, борются с этим материалом, так что не обижайтесь, если ваш инструктор начнет спрашивать вам о сложностях с интегралами, если вы не сдали это к тому времени.

Ни при каких обстоятельствах не ждите последней недели, когда будет предложен тест прежде чем серьезно относиться к его прохождению. Это рецепт катастрофы (ну, как минимум рецепт потери трети буквы от оценки за курс). Поскольку время, в течение которого предлагается тест, довольно щедро, можно не может быть отменено правило только об одной попытке в день, потому что учащийся думал, что он или она были слишком заняты, чтобы сдать тест до крайнего срока. Чтобы исключить это, ни одно из правил или политик не изменится в течение последней недели. тест предлагается только потому, что приближается крайний срок.