Гипотезу пуанкаре: Просто о сложном, гипотеза Пуанкаре

Просто о сложном, гипотеза Пуанкаре

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере

В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений, а Перельман спустя 100 лет математически это доказал.

Для начала заметим, что обычная сфера, которая есть поверхность обычного шара, двумерна (а сам шар — тот трёхмерен). Двумерная сфера состоит из всех точек трёхмерного пространства, равноудалённых от некоторой выделенной точки, называемой центром и сфере не принадлежащей. Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра (сфере не принадлежащего). В отличие от двумерных сфер трёхмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трёхчлен.

Не исключено, однако, что все мы как раз в трёхмерной сфере и находимся, то есть что наша Вселенная является трёхмерной сферой. В этом состоит значение результата Перельмана для физики и астрономии. Термин “односвязное компактное трёхмерное многообразие без края” содержит указания на предполагаемые свойства нашей Вселенной. Термин “гомеоморфно” означает некую высокую степень сходства, в известном смысле неотличимость. 

Формулировка в целом означает, следовательно, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она — в том же самом “известном смысле” — и есть трёхмерная сфера.”

Если совсем просто – то:

1. Имеем воздушный шарик БЕЗ дырки, через которую происходит его надувание – аналог трехмерной сферы.

2. Имеем полое замкнутое тело, например, тарелку, стакан, куб, карандаш, дверь без ручек.

Необходимо доказать, что поверхность этого тела топологически является аналогом сферы, т. е. после проведения определённых деформаций, не вызывающих разрывов данной поверхности, поверхность принимает форму сферы и на этой поверхности действуют те же математические законы, что и на сфере, описываемые теми же функциями в топологии.

Доказательство “для чайников”: помещаем тело внутрь нашего воздушного шарика, откачиваем воздух – шарик принимает форму поверхности данного тела, при этом оставаясь шариком, т.е. сферой, для которой по прежнему применимы те же законы, что и для сферы до её деформации.

Если же посложнее – то если возможно установить однозначное соответствие между точками сферы и точками некой трехмерной поверхности с сохранением условия непрерывности, т.е. соседства точек на поверхности и на сфере – для этой поверхности применимы законы, применимые для сферы.

Примерно так:) 

Дмитрий Кулешов Авиаконструктор, ЧГКшник, джипер., Ulan-Ude

Исключительная важность гипотезы, выдвинутой около века назад математиком Пуанкаре, касается трёхмерных структур и является ключевым элементом современных исследований основ мироздания. Загадка эта, по мнению специалистов института Клэя, одна из семи принципиально важных для развития математики будущего.

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы:

– Топология – (от греч. topos – место и logos – учение) – раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо – двумя.

– Гомеоморфизм (греч. ομοιο – похожий, μορφη – форма) – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическим пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называют гомеоморфными, или топологическими отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными.

– Трёхмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трёхмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3 , а также любые открытые множества точек в R3 , к примеру, внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полноторие, т.е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем – у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

– Полното́рие (полното́рий) — геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D2 * S1. Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).

– Односвязное. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

– Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Ильназ Башаров https://allatra-science.

org/publication/teorema-puankare-gregory-perelman

Гипотеза Пуанкаре — суть и идея доказательства простыми словами

Гипотеза Пуанкаре — это доказанная гипотеза о том, что если трёхмерная поверхность чем-то похожа на сферу, и если её расправить, она превратится именно в сферу.

Одна из версий официальной формулировки гипотезы Пуанкаре́ звучит так: “Всякое связное, односвязное, компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S³”.

Гипотеза Пуанкаре была сформулирована в 1904 году известным французским математиком Анри Пуанкаре. В 2002–2003 годах она была доказана русским математиком Григорием Перельманом. После этого Гипотеза Пуанкаре стала именоваться теоремой Пуанкаре — Перельман.

Топология — простыми словами это “геометрия резинового листа” или “резиновая геометрия” т.к. объекты растягиваются и сжимаются как резина и их невозможно сломать; топология изучает свойства пространств, которые неизменны под давлением любой непрерывной деформации.

Гипотеза Пуанкаре связана с топологией.

Доказательство

Простыми словами: Перельман доказал при помощи потока Риччи, что при эволюции любая замкнутая кривая на плоскости ведёт себя одинаково и превращается в окружность.

Изображение того, как поток Риччи превращает грушевидный объект в сферу

В своих статьях, где Перельман опубликовал идеи доказательства, он также доказал гипотезу о геометризации Уильяма Тёрстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.

Гипотеза геометризации Уильяма Тёрстона гласит, что каждое трёхмерное многообразие локально изометрично только одному из восьми различных типов (изометрично — в науке это то, что относится к равенству меры или этим характеризуется).

Доказательство Перельмана было основано на теории потока Риччи и использовало результаты Чигера, Громова и самого Перельмана о метрических пространствах.

Метрическое пространство — это набор, где есть функция измерения расстояния между точками и который называется метрикой.

Что доказательство гипотезы дало науке?

В плане астрономии эта теорема предполагает, что если наша Вселенная имеет характеристики односвязного компактного многообразия без края, следовательно, она является трёхмерной сферой. Однако ранее считалось, что Вселенная является бесконечной (т.е. имеет форму евклидового трёхмерного пространства).

Теорема Перельмана — Пуанкаре также имеет огромное значение для математики, особенно способ её доказательства. Эта теорема считается математической формулой Вселенной. Она описывает наш мир, который является гладким трёхмерным многообразием.

Узнайте также про Теорию струн, Теорию относительности, Теорему Ферма и Космологию.

Дата обновления 16/04/2021.

---

---

Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать

• Теорема Ферма
• Астрономия
• Космология
• Аксиома
• Теория струн
• Теорема Пифагора
• Теорема Менелая
• Теорема косинусов
• Теория Дарвина
• Теорема Виета

Узнай Что Такое: узнайте значения, понятия и определения.

ПоследниеПопулярныеКонтактыПолитика КонфиденциальностиО нас

2018 – 2023 © 7Graus

Гипотеза Пуанкаре | математика | Britannica

Ключевые люди:

Майкл Фридман Стивен Смейл Григорий Перельман

Похожие темы:

Проблема тысячелетия сфера многообразие

См. весь связанный контент →

Гипотеза Пуанкаре , в топологии, гипотеза — теперь доказанная как истинная теорема — о том, что каждое односвязное замкнутое трехмерное многообразие топологически эквивалентно S ³ , который является обобщением обычной сферы на более высокое измерение (в частности, на множество точек в четырехмерном пространстве, равноудаленных от начала координат). Гипотеза была высказана в 1904 году французским математиком Анри Пуанкаре, работавшим над классификацией многообразий, когда он заметил, что трехмерные многообразия создают некоторые особые проблемы.

Эта проблема стала одной из важнейших нерешенных проблем алгебраической топологии.

«Односвязный» означает, что фигура или топологическое пространство не содержит отверстий. «Замкнутый» — это точный термин, означающий, что он содержит все свои предельные точки или точки накопления (такие точки, что независимо от того, насколько близко вы подходите к любой из них, другие точки на рисунке или наборе будут находиться в пределах этого расстояния) . Трехмерное многообразие — это обобщение и абстракция понятия криволинейной поверхности до трех измерений. «Топологически эквивалентный» или гомеоморфный означает, что существует непрерывное взаимно однозначное отображение, являющееся обобщением понятия функции, между двумя множествами. 3-сфера, или S ³ , представляет собой набор точек в четырехмерном пространстве на некотором фиксированном расстоянии от данной точки.

Викторина “Британника”

Числа и математика

Позднее Пуанкаре распространил свою гипотезу на любую размерность, а точнее, на утверждение, что каждое компактное n -мерное многообразие гомотопически эквивалентно n -мерной сфере (каждое из них можно непрерывно деформировать в другое), если и только если он гомеоморфен н -сфера. Другими словами, n -сфера является единственным ограниченным n -мерным пространством, не содержащим дыр. Для n  = 3 это сводится к его первоначальной гипотезе.

При n  = 1 гипотеза тривиально верна, поскольку любое компактное, замкнутое, односвязное одномерное многообразие гомеоморфно окружности. Для n  = 2, что соответствует обычной сфере, гипотеза была доказана в XIX веке. В 1961 году американский математик Стивен Смейл показал, что гипотеза верна для n ≥ 5, в 1983 г. американский математик Майкл Фридман показал, что оно верно для n  = 4, а в 2002 г. русский математик Григорий Перельман окончательно закрыл решение, доказав, что оно верно для n  = 3. Все три математики были награждены медалью Филдса после их доказательств. Перельман отказался от Филдсовской медали. Перельман также квалифицировался со своим доказательством, чтобы выиграть 1 миллион долларов — один из семи миллионов долларов призов, предложенных Математическим институтом Клэя (CMI) в Кембридже, штат Массачусетс, за решение проблемы тысячелетия. Поскольку Перельман опубликовал свое доказательство в Интернете, а не в рецензируемом журнале, ему не сразу была присуждена премия «Проблема тысячелетия». Другие математики подтвердили доказательство Перельмана в рецензируемых журналах, а в 2010 году CMI предложил Перельману награду в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. Как и в случае с Филдсовской медалью, Перельман отказался от премии.

Уильям Л. Хош

Премия тысячелетия: гипотеза Пуанкаре

СЕРИЯ ПРЕМИЙ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ: Задачи премии тысячелетия — это семь математических задач, сформулированных Математическим институтом Клэя в 2000 году. Они непростые

0 – – правильное решение любого из них приводит к присуждению Институтом приза в размере 1 000 000 долларов США.

Российский математик Григорий «Гриша» Перельман был награжден премией 18 марта прошлого года за решение одной из задач — гипотезы Пуанкаре — пока единственной решенной. Известно, что он отказался от премии тысячелетия в размере 1 000 000 долларов.

В ближайшие недели каждая из этих проблем будет освещена экспертами из организаций-членов Австралийского института математических наук (AMSI).

Здесь Хайам Рубинштейн обсуждает уже решенную гипотезу Пуанкаре. Наслаждаться.

В 1904 году французский математик Анри Пуанкаре задал ключевой вопрос о трехмерных пространствах («многообразиях»).

Представьте себе кусок веревки, так что сначала на веревке завязывается узел, а затем концы склеиваются. Это то, что математики называют узлом. Звено — это набор узлов, переплетенных вместе.

Было замечено, что ДНК, скрученная внутри клеток, находится в форме закрытых узлов.

Сложные молекулы, такие как полимеры, запутаны в узлы. Существуют глубокие связи между теорией узлов и идеями математической физики. Внешний вид узла или звена в пространстве дает важные примеры трехмерных пространств.

Тор. Фропафф

Вернемся к Пуанкаре и его гипотезе. Он спросил, является ли трехмерная сфера (которая может быть образована либо добавлением бесконечно удаленной точки к обычному трехмерному евклидову пространству, либо путем склеивания двух сплошных трехмерных шаров вдоль их граничных двумерных сфер) единственным трехмерным пространством. в котором каждую петлю можно непрерывно сжимать в точку.

Пуанкаре внес важные идеи в структуру и классификацию поверхностей и их многомерных аналогов («многообразий»), вытекающие из его работы над динамическими системами.

Пончики, пожалуйста

Хороший способ визуализировать гипотезу Пуанкаре — исследовать границу шара (двумерная сфера) и границу пончика (называемого тором). Любую петлю нити на 2-сфере можно сжать в точку, оставив ее на сфере, тогда как если петля огибает отверстие в бублике, ее нельзя сжать, не покинув поверхности бублика.

Было предпринято множество попыток гипотезы Пуанкаре, пока в 2003 году молодой русский математик Григорий «Гриша» Перельман не объявил о замечательном решении.

Это краткое изложение идей, использованных Перельманом, основанное на работах двух других выдающихся математиков, Билла Терстона и Ричарда Гамильтона.

Трехмерные пространства

Терстон добился огромных успехов в нашем понимании трехмерных пространств в конце 1970-х годов. В частности, он понял, что практически вся работа, проделанная после Пуанкаре, укладывается в единую тему.

Он заметил, что известные трехмерные пространства можно разделить на части естественным образом, так что каждая часть имеет единую геометрию, подобную плоской плоскости и круглой сфере. (Чтобы увидеть эту геометрию на торе, надо вложить ее в четырехмерное пространство!).

Терстон выдвинул смелую «геометризационную гипотезу», согласно которой это должно быть верно для всех трехмерных пространств. У него было много блестящих учеников, которые развили его теории, не в последнюю очередь создав мощные компьютерные программы, которые могли проверить любое заданное пространство, чтобы попытаться найти его геометрическую структуру.

Терстон добился впечатляющих успехов в гипотезе геометризации, которая включает в себя гипотезу Пуанкаре как частный случай. Гипотеза геометризации предсказывает, что любое трехмерное пространство, в котором каждая петля сжимается в точку, должно иметь круглую метрику — это будет 3-сфера, и гипотеза Пуанкаре будет следовать.

В 1982 году Ричард Гамильтон опубликовал прекрасную статью, в которой представил новую технику геометрического анализа, которую он назвал потоком Риччи. Гамильтон искал аналоги потока функций, чтобы энергия функции уменьшалась, пока не достигала минимума. Этот тип потока тесно связан с тем, как тепло распространяется в материале.

Гамильтон рассудил, что аналогичный поток должен быть для геометрической формы пространства, а не для функции между пространствами. Он использовал тензор Риччи, ключевую особенность уравнений поля Эйнштейна для общей теории относительности, в качестве движущей силы своего потока.

Он показал, что для трехмерных пространств, где кривизна Риччи положительна, поток постепенно меняет форму до тех пор, пока метрика не будет удовлетворять гипотезе геометризации Терстона.

Гамильтон привлек к работе в этой области многих выдающихся молодых математиков. Поток Риччи и другие подобные потоки стали огромной областью исследований с приложениями в таких областях, как движущиеся интерфейсы, гидромеханика и компьютерная графика.

Поток Риччи. КНБ

Он набросал замечательную программу, позволяющую использовать поток Риччи для проверки гипотезы Тёрстона о геометризации. Идея заключалась в том, чтобы продолжать развивать форму пространства под потоком Риччи.

Гамильтон и его сотрудники обнаружили, что пространство может образовывать сингулярность, где узкая шейка становится все тоньше и тоньше, пока пространство не разделится на два меньших пространства.

Гамильтон усердно работал, чтобы попытаться полностью понять это явление и позволить деталям продолжать развиваться в потоке Риччи, пока не будет найдена геометрическая структура, предсказанная Терстоном.

Перельман

В этот момент на сцену ворвался Перельман. Он добился блестящих результатов в очень молодом возрасте и был научным сотрудником знаменитого Института Стеклова в Санкт-Петербурге. Перельман получил стипендию Миллера, чтобы посетить Калифорнийский университет в Беркли в течение трех лет в начале 1990-х.

Я встретил его там примерно в 1992 году. Затем он «исчез» с математической сцены почти на десять лет и снова появился, чтобы объявить, что он завершил программу Гамильтона по потоку Риччи, в серии статей, которые он разместил в электронном репозитории под названием ArXiv. .

Его статьи вызвали огромный ажиотаж, и в течение нескольких месяцев несколько групп начали работать над стратегией Перельмана.

В конце концов все были убеждены, что Перельман действительно добился успеха, и геометризация, и гипотеза Пуанкаре были решены.

Перельман был награжден как медалью Филдса (математический эквивалент Нобелевской премии), так и предложил миллион долларов за решение одной из премий тысячелетия от Института Клэя.